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Cálculo do produto interno em função das coordenadas do vetor

Sejam os vetores u = (a, b) = a i + b j e v = (c, d) = c i + d j
Vamos multiplicar escalarmente os vetores u e v .
u.v = (a i + b j).(c i + d j) = ac i.i + ad i.j + bc j.i + bd j.j

Lembrando que os versores i e j são perpendiculares e considerando-se as conclusões acima, teremos:
i.i = j.j = 1 e i.j = j.i = 0

Daí, fazendo as substituições, vem:
u.v = ac . 1 + ad . 0 + bc . 0 + bd . 1 = ac + bd

Então concluímos que o produto interno de dois vetores, é igual à soma dos produtos das componentes correspondentes ou homônimas.

Unindo a conclusão acima, com a definição inicial de produto interno de vetores, chegamos a uma importante fórmula, a saber:
Sejam os vetores: u = (a,b) e v = (c, d)
Já sabemos que: u.v = u.v.cosb = ac + bd
Logo, o ângulo formado pelos vetores, será tal que:

Onde u e v correspondem aos módulos dos vetores e a, b, c, d são as suas coordenadas.

Portanto, para determinar o ângulo formado por dois vetores, basta dividir o produto interno deles, pelo produto dos seus módulos. 
Achado o cosseno, o ângulo estará determinado.

Vamos demonstrar o teorema de Pitágoras, utilizando o conceito de produto interno de vetores.
Seja o triângulo retângulo da figura abaixo:

É óbvio que: w = u + v

Quadrando escalarmente a igualdade vetorial acima, vem:
w² = u² + 2.u.v + v²

Dos itens (b) e (c) acima, concluímos que w² = w² , u² = u² , v² = v² e u.v = 0 (lembre-se que os vetores
u e v são perpendiculares).

Assim, substituindo, vem:
w² = u² + 2.0 + v² , ou, finalmente: w² = u² + v² (o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos).

Agora, convidamos ao visitante, a deduzir o teorema dos cossenos, ou seja: 
em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles.