|
Função exponencial
A função exponencial natural é a função exp:R-->R+, definida como a inversa da função logarítmo
natural, isto é:
Ln(exp(x)) = x, exp(Ln(x)) = x
O gráfico da função exponencial é obtido pela reflexão do gráfico da função Logaritmo natural em relação à identidade dada pela reta y=x. Como o domínio da função Logaritmo natural é o conjunto dos números reais positivos, então a imagem da função exp é o conjunto dos números reais positivos e como a imagem de Ln é o conjunto R de todos os números reais, então o domínio de exp também é o conjunto R de todos os números reais.
Observação: Através do gráfico de y=exp(x), notamos que:
exp(x)>0 (x em R)
0 < exp(x) < 1 se x<0
exp(x)=1 se x=0
exp(x)>1 se x>0
No Ensino Médio, define-se a função exponencial a partir da função logarítmica e ciclicamente define-se a função logarítmica em função da exponencial como:
y = exp(x) <=> x = Ln(y)
Para uma definição mais cuidadosa, veja Logaritmos.
Exemplos:
Ln(exp(5)) = 5
exp(ln(5)) = 5
Ln exp((x+1)1/2)=(x+1)1/2
exp(Ln((x+1)1/2)= (x+1)1/2
exp(3 Ln x) = exp(Ln x3)= x3
exp(k Ln x) = exp(Ln xk)= xk
exp(7(Ln(3)-Ln(4)) = exp(7(Ln(3/4))) = exp(Ln(3/4)7) = (3/4)7
A Constante e de Euler
Existe uma importantíssima constante matemática definida por
e = exp(1)
O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos que:
Ln(e) = 1
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.
O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é:
e = 2,718281828459045235360287471352662497757
Conexão entre o número e e a função exponencial
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com expoente x, isto é:
ex = exp(x)
Interpretação geométrica de e
Se tomarmos um ponto v do eixo OX, com v>1 tal que a área da região do primeiro quadrante localizada sob a curva y=1/x e entre as retas x=1 e x=v seja unitária, então o valor de v será igual a e.
Propriedades básicas da função exponencial
Se x e y são dois números reais quaisquer e k é um número racional, então:
y = ex se, e somente se, x = Ln(y)
eLn(y) = y para y>0
Ln(ex) =x
ex+y = exey
ex-y = ex/ ey
ex.k = (ex)k
Simplificações matemáticas
Podemos simplificar algumas expressões matemáticas com as propriedades das funções exponenciais e logaritmos:
eLn(3) = 3
e2+5 ln2 = e2 e5.Ln(2) = e2eLn(25) = e2 25= 32 e2
Ln(e20x) = 20x
Outras funções exponenciais
Podemos definir outras funções exponenciais dadas por g(x)=ax, onde a são números positivos diferentes de 1 e x é um número real.
Primeiramente, consideremos o caso onde o expoente é um número racional r.
Pondo x=ar na equação x=exp(Ln(x)), teremos:
ar=exp(Ln(ar))
mas como Ln(ar) = r Ln(a), a relação anterior fica:
ar = exp[r Ln(a)]
Esta última expressão, juntamente com a informação que todo número real pode ser escrito como limite de uma sequência de números racionais, justifica a definição para g(x)=ax, onde x é um número real:
ax = exp[x Ln(a)]
Leis dos expoentes
Se x e y são números reais e a e b são números reais positivos, então:
ax ay= ax + y
ax / ay= ax - y
(ax) y= ax.y
(a b)x = ax bx
(a / b)x = ax / bx
a-x = 1 / ax
Relação de Euler
Seja i a unidade imaginária e x real. Vale a relação:
eix = exp(ix) = cos(x) + i sen(x)
Aplicações : Funções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras
|
MENU
