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Limites

 

Limites

A Teoria dos Limites, tópico introdutório e fundamental da Matemática Superior, será vista aqui, de uma forma simplificada, abordando os tópicos no nível do segundo grau, voltado essencialmente para os exames vestibulares.

O que veremos a seguir, será uma introdução à Teoria dos Limites, dando ênfase principalmente ao cálculo de limites de funções, com base nas propriedades pertinentes.

Outro aspecto importante a ser comentado, é  tópico: DERIVADAS.

O matemático francês - Augustin Louis CAUCHY - 1789/1857, foi, um grande estudioso da TEORIA DOS LIMITES. Antes dele, Isaac NEWTON - inglês - 1642 /1727 e Gottfried Wilhelm LEIBNIZ - alemão - 1646 /1716, já haviam desenvolvido o Cálculo Infinitesimal.

DEFINIÇÃO

Dada a função y = f(x), definida no intervalo real (a, b), dizemos que esta função f possui um limite finito L quando x tende para um valor x0, se para cada número positivo e, por menor que seja, existe em correspondência um número positivo d, tal que para
| x - x0 | < d , se tenha |f(x) - L | < e, para todo x ¹ x0.

Indicamos que L é o limite de uma função f( x ) quando x tende a x0, através da simbologia abaixo:
lim f(x) = L
x® x0

Exercício:
Prove, usando a definição de limite vista acima, que:
lim (x + 5) = 8
x® 3

Temos no caso:
f(x) = x + 5
x0 = 3
L = 8.

Com efeito, deveremos provar que dado um e > 0 arbitrário, deveremos encontrar um d > 0, tal que, para  |x - 3| < d, se tenha |(x + 5) - 8| < e. Ora, |(x + 5) - 8| < e é equivalente a | x - 3 | < e.

Portanto, a desigualdade |x - 3| < d, é verificada, e neste caso d = e. Concluímos então que 8 é o limite da função para x tendendo a 3 ( x ® 3).

O cálculo de limites pela definição, para funções mais elaboradas, é extremamente laborioso e de relativa complexidade.

Assim é que, apresentaremos as propriedades básicas, sem demonstrá-las e, na seqüência, as utilizaremos para o cálculo de limites de funções.
Antes, porém, valem as seguintes observações preliminares:

a) é conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando x ® x0, não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto x0, pois quando calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto queiramos do ponto x0, porém não coincidente com x0, ou seja, consideramos os valores da função na vizinhança do ponto x0

Para exemplificar, consideremos o cálculo do limite da função abaixo, para x ® 3.


Observe que para x = 3, a função não é definida. Entretanto, lembrando que x2 - 9 = (x + 3) (x - 3), substituindo e simplificando, a função fica igual a f(x) = x + 3, cujo limite para x ® 3 é igual a 6, obtido pela substituição direta de x por 3.

b) o limite de uma função y = f(x), quando x ® x0, pode inclusive, não existir, mesmo a função estando definida neste ponto x0, ou seja, existindo f(x0).

c) ocorrerão casos nos quais a função f(x) não está definida no ponto x0, porém existirá o limite de f(x) quando x ® x0.

d) nos casos em que a função f(x) estiver definida no ponto x0, e existir o limite da função f(x) para x ® x0 e este limite coincidir com o valor da função no ponto x0, diremos que a função f(x) é CONTÍNUA no ponto x0.

e) já vimos a definição do limite de uma função f(x) quando x tende a x0, ou x ® x0. Se x tende para x0, para valores imediatamente inferiores a x0, dizemos que temos um limite à esquerda da função. Se x tende para x0, para valores imediatamente superiores a x0, dizemos que temos um limite à direita da função.

Pode-se demonstrar que se esses limites à direita e à esquerda forem iguais, então este será o limite da função quando x ® x0.

Propriedades operatórias dos limite.

P1 - o limite de um soma de funções, é igual à soma dos limites de cada função. 
lim ( u + v + w +... ) = lim u + lim v + lim w +...

P2 - o limite de um produto é igual ao produto dos limites.
lim (u. v) = lim u. lim v

P3 - o limite de um quociente de funções, é igual ao quociente dos limites.
lim (u / v) = lim u / lim v, se lim v ¹ 0.

P4 - sendo k uma constante e f uma função, lim k. f = k. lim f

Observações: No cálculo de limites, serão consideradas as igualdades simbólicas, a seguir, envolvendo os símbolos de mais infinito (+ ¥) e menos infinito (- ¥), que representam quantidades de módulo infinitamente grande.
É conveniente salientar que, o infinitamente grande, não é um número e, sim, uma tendência de uma variável, ou seja: a variável aumenta ou diminui, sem limite.

Na realidade, os símbolos + ¥ e - ¥, não representam números reais, não podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de cálculo algébrico.

Dado b Î R - conjunto dos números reais, teremos as seguintes igualdades simbólicas:
b + (+ ¥ ) = + ¥
b + ( - ¥ ) = - ¥
(+ ¥ ) + (+ ¥ ) = + ¥
(- ¥ ) + (- ¥ ) = - ¥
(+ ¥ ) + (- ¥ ) = nada se pode afirmar inicialmente. O símbolo ¥ - ¥, é dito um símbolo de indeterminação.
(+ ¥ ). (+ ¥ ) = + ¥
(+ ¥ ). 0 = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.
¥ / ¥ = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.

No cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos a expressões indeterminadas, o que significa que, para encontrarmos o valor do limite, teremos que levantar a indeterminação, usando as técnicas algébricas. Os principais símbolos de indeterminação, são:

¥ - ¥
¥. 0
¥ / ¥
¥ 0
0 / 0

1- ¥

LIMITES FUNDAMENTAIS

A técnica de cálculo de limites, consiste na maioria das vezes, em conduzir a questão até que se possa aplicar os limites fundamentais, facilitando assim, as soluções procuradas.

Apresentaremos a seguir - sem demonstrar - cinco limites fundamentais e estratégicos, para a solução de problemas.

Primeiro limite fundamental : O limite trigonométrico

Intuitivamente isto pode ser percebido da seguinte forma: seja x um arco em radianos, cuja medida seja próxima de zero, digamos x = 0,0001 rad. Nestas condições, o valor de senx será igual a sen 0,0001 = 0,00009999 (obtido numa calculadora científica).

Efetuando-se o quociente, vem: senx / x = 0,00009999 / 0,0001 = 0,99999 » 1.

Quanto mais próximo de zero for o arco x, mais o quociente (senx) / x se aproximará da unidade, caracterizando-se aí, a noção intuitiva de limite de uma função.

Exercício:
Observe o cálculo do limite abaixo:

Observe que fizemos acima, uma mudança de variável, colocando 5x = u, de modo a cairmos num limite fundamental.

Verifique também que ao multiplicarmos numerador e denominador da função dada por 5, a expressão não se altera. Usamos também a propriedade P4 vista no início do texto.

Segundo limite fundamental : Limite exponencial

Onde e é a base do sistema de logaritmos neperianos, cujo valor aproximado é e » 2,7182818.

Terceiro limite fundamental : Conseqüência do anterior

Exercício:
Observe o cálculo do limite abaixo.
lim (1 + x)5/x = lim [(1 + x)1/x]5 = e5
x® 0................x® 0

Quarto limite fundamental : outro limite exponencial


Para a > 0.

Quinto limite fundamental

 

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