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Limites

A Teoria dos Limites, tópico introdutório e fundamental da Matemática Superior, será vista aqui, de uma forma simplificada, abordando os tópicos no nível do segundo grau, voltado essencialmente para os exames vestibulares.

O que veremos a seguir, será uma introdução à Teoria dos Limites, dando ênfase principalmente ao cálculo de limites de funções, com base nas propriedades pertinentes.

Outro aspecto importante a ser comentado, é  tópico: DERIVADAS.

O matemático francês - Augustin Louis CAUCHY - 1789/1857, foi, um grande estudioso da TEORIA DOS LIMITES. Antes dele, Isaac NEWTON - inglês - 1642 /1727 e Gottfried Wilhelm LEIBNIZ - alemão - 1646 /1716, já haviam desenvolvido o Cálculo Infinitesimal.

DEFINIÇÃO

Dada a função y = f(x), definida no intervalo real (a, b), dizemos que esta função f possui um limite finito L quando x tende para um valor x₀, se para cada número positivo e, por menor que seja, existe em correspondência um número positivo d, tal que para
| x - x₀ | < d , se tenha |f(x) - L | < e, para todo x ¹ x₀.

Indicamos que L é o limite de uma função f( x ) quando x tende a x₀, através da simbologia abaixo:
lim f(x) = L
x® x₀

Exercício:
Prove, usando a definição de limite vista acima, que:
lim (x + 5) = 8
x® 3

Temos no caso:
f(x) = x + 5
x₀ = 3
L = 8.

Com efeito, deveremos provar que dado um e > 0 arbitrário, deveremos encontrar um d > 0, tal que, para  |x - 3| < d, se tenha |(x + 5) - 8| < e. Ora, |(x + 5) - 8| < e é equivalente a | x - 3 | < e.

Portanto, a desigualdade |x - 3| < d, é verificada, e neste caso d = e. Concluímos então que 8 é o limite da função para x tendendo a 3 ( x ® 3).

O cálculo de limites pela definição, para funções mais elaboradas, é extremamente laborioso e de relativa complexidade.

Assim é que, apresentaremos as propriedades básicas, sem demonstrá-las e, na seqüência, as utilizaremos para o cálculo de limites de funções.
Antes, porém, valem as seguintes observações preliminares:

a) é conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando x ® x₀, não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto x₀, pois quando calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto queiramos do ponto x₀, porém não coincidente com x₀, ou seja, consideramos os valores da função na vizinhança do ponto x₀. 

Para exemplificar, consideremos o cálculo do limite da função abaixo, para x ® 3.


Observe que para x = 3, a função não é definida. Entretanto, lembrando que x² - 9 = (x + 3) (x - 3), substituindo e simplificando, a função fica igual a f(x) = x + 3, cujo limite para x ® 3 é igual a 6, obtido pela substituição direta de x por 3.

b) o limite de uma função y = f(x), quando x ® x₀, pode inclusive, não existir, mesmo a função estando definida neste ponto x₀, ou seja, existindo f(x₀).

c) ocorrerão casos nos quais a função f(x) não está definida no ponto x₀, porém existirá o limite de f(x) quando x ® x₀.

d) nos casos em que a função f(x) estiver definida no ponto x₀, e existir o limite da função f(x) para x ® x₀ e este limite coincidir com o valor da função no ponto x₀, diremos que a função f(x) é CONTÍNUA no ponto x₀.

e) já vimos a definição do limite de uma função f(x) quando x tende a x₀, ou x ® x₀. Se x tende para x₀, para valores imediatamente inferiores a x₀, dizemos que temos um limite à esquerda da função. Se x tende para x₀, para valores imediatamente superiores a x₀, dizemos que temos um limite à direita da função.

Pode-se demonstrar que se esses limites à direita e à esquerda forem iguais, então este será o limite da função quando x ® x₀.

Propriedades operatórias dos limite.

P1 - o limite de um soma de funções, é igual à soma dos limites de cada função. 
lim ( u + v + w +... ) = lim u + lim v + lim w +...

P2 - o limite de um produto é igual ao produto dos limites.
lim (u. v) = lim u. lim v

P3 - o limite de um quociente de funções, é igual ao quociente dos limites.
lim (u / v) = lim u / lim v, se lim v ¹ 0.

P4 - sendo k uma constante e f uma função, lim k. f = k. lim f

Observações: No cálculo de limites, serão consideradas as igualdades simbólicas, a seguir, envolvendo os símbolos de mais infinito (+ ¥) e menos infinito (- ¥), que representam quantidades de módulo infinitamente grande.
É conveniente salientar que, o infinitamente grande, não é um número e, sim, uma tendência de uma variável, ou seja: a variável aumenta ou diminui, sem limite.

Na realidade, os símbolos + ¥ e - ¥, não representam números reais, não podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de cálculo algébrico.

Dado b Î R - conjunto dos números reais, teremos as seguintes igualdades simbólicas:
b + (+ ¥ ) = + ¥
b + ( - ¥ ) = - ¥
(+ ¥ ) + (+ ¥ ) = + ¥
(- ¥ ) + (- ¥ ) = - ¥
(+ ¥ ) + (- ¥ ) = nada se pode afirmar inicialmente. O símbolo ¥ - ¥, é dito um símbolo de indeterminação.
(+ ¥ ). (+ ¥ ) = + ¥
(+ ¥ ). 0 = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.
¥ / ¥ = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.

No cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos a expressões indeterminadas, o que significa que, para encontrarmos o valor do limite, teremos que levantar a indeterminação, usando as técnicas algébricas. Os principais símbolos de indeterminação, são:

¥ - ¥
¥. 0
¥ / ¥
¥ ⁰
0 / 0
1¥
1^{- ¥}

LIMITES FUNDAMENTAIS

A técnica de cálculo de limites, consiste na maioria das vezes, em conduzir a questão até que se possa aplicar os limites fundamentais, facilitando assim, as soluções procuradas.

Apresentaremos a seguir - sem demonstrar - cinco limites fundamentais e estratégicos, para a solução de problemas.

Primeiro limite fundamental : O limite trigonométrico

Intuitivamente isto pode ser percebido da seguinte forma: seja x um arco em radianos, cuja medida seja próxima de zero, digamos x = 0,0001 rad. Nestas condições, o valor de senx será igual a sen 0,0001 = 0,00009999 (obtido numa calculadora científica).

Efetuando-se o quociente, vem: senx / x = 0,00009999 / 0,0001 = 0,99999 » 1.

Quanto mais próximo de zero for o arco x, mais o quociente (senx) / x se aproximará da unidade, caracterizando-se aí, a noção intuitiva de limite de uma função.

Exercício:
Observe o cálculo do limite abaixo:

Observe que fizemos acima, uma mudança de variável, colocando 5x = u, de modo a cairmos num limite fundamental.

Verifique também que ao multiplicarmos numerador e denominador da função dada por 5, a expressão não se altera. Usamos também a propriedade P4 vista no início do texto.

Segundo limite fundamental : Limite exponencial

Onde e é a base do sistema de logaritmos neperianos, cujo valor aproximado é e » 2,7182818.

Terceiro limite fundamental : Conseqüência do anterior

Exercício:
Observe o cálculo do limite abaixo.
lim (1 + x)^5/x = lim [(1 + x)^1/x]⁵ = e⁵
x® 0................x® 0

Quarto limite fundamental : outro limite exponencial


Para a > 0.

Quinto limite fundamental