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Sistemas de Equações
Noções:
A soma de dois números é 12 e a diferença entre eles é 4. Quais são estes números?
Para a resolução de problemas como este que apresenta duas incógnitas desconhecidas, utilizamos um sistema de equações.
Chamamos de x o primeiro número (o maior) e de y o segundo número.
Pelo enunciado:
» soma de dois números é 12, ou seja: x+y = 12 ...I
» a diferença entre eles é 4, isto é : x-y = 4 .....II
A solução de um sistema de equações com duas variáveis é um par ordenado (x,y) de números reais que satisfaz as duas equações ( I e II ).
Verificando o par ordenado (8,4), notamos que satisfaz as duas equações:
8+4=12 e 8-4=4 , logo a solução do sistema é (8,4)
Vejamos agora os métodos para a resolução de sistema de equações:
Método da adição:
» basta eliminar uma das variáveis, através de termos opostos, recaindo numa equação do 1º grau com uma variável.
Ex: x + y = 12
x - y = 4
Notamos que as duas equações possuem termos opostos
(y e -y).
Com isso, basta somar as duas equações:
X + Y = 12
X - Y = 4
2X = 16
X = 8
A seguir, basta substituir o valor encontrado para x em uma das equações.
8+y=12 ou 8-y=4
y=12-8 -y=4-8
y=4 y=4
O par ordenado (x,y)=(8,4) é a solução do sistema.
Outro exemplo:
2X + 3Y = 3 ... I
4X + 6Y = 12.. II
» Note que as equações não possuem coeficientes opostos, logo se somarmos membro a membro, não eliminaremos nenhuma variável.
Para a resolução deste sistema, devemos escolher uma variável para ser eliminada.
Para isso, multiplicamos a equação I por -2:
-4X - 6Y = -6... I
4X + 6Y = 12... II
0X + 0Y = 6.... III
Observe que a equação III não possui solução, logo a solução do sistema seria vazio.
S= { }
Método da substituição:
» Consiste em eliminarmos uma das variáveis isolando seu valor numa das equações do sistema, para em seguida substitui-la na outra.
Ex: x+y=12 ... I
x-y=4 .... II
Escolhemos uma das variáveis na primeira equação, para determinarmos o seu valor:
x+y=12 » x=12-y
Substituímos na outra equação:
(12-y) - y = 4
12-2y = 4
-2y = -8
y=4
Substituindo o valor encontrado em uma das equações:
x+4=12 » x=12-4 » x=8
Logo a solução do sistema seria:
S = {(8,4)}
Ex:
3X + 4Y = 46 ... I
2X - Y = 16 ... II
Escolhemos a variável y da equação II:
Y = -16 + 2x ... II
Substituindo na equação II :
3X + 4( -16 + 2X) = 46
3X - 64 + 8X = 46
11X = 46 + 64 = 110
X = 10
Substituindo o valor de x encontrado em II:
Y = -16 + 2.10 = 4
Logo a solução do sistema é :
S = {( 10,4 )}
Método da comparação:
» Consiste em compararmos as duas equações do sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações:
x+2y=2 » x=2-2y
x+y = 3 » x=3-y
Comparando as duas equações:
2-2y=3-y
-2y+y=3-2
-y = 1
y = -1
Substituindo o valor de y encontrado:
x = 2-2.(-1) » x=2+2=4
Portando S= {(4,-1)}
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