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Teoria das Funções

Definição

Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se função (ou aplicação) de A em B, representada por
f : A ® B ; y = f(x), a qualquer relação binária que associa a cada elemento de A, um único elemento de B.

Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função, exige-se que a cada x Î A esteja associado um único y Î B, podendo entretanto existir y Î B que não esteja associado a nenhum elemento pertencente ao conjunto A.

Obs : na notação y = f(x), entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja:
y está associado a x através da função f.

Exemplo:
f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto, 11 é imagem de 2 pela função f ;
f(5) = 4.5 + 3 = 23, portanto 23 é imagem de 5 pela função f, f(0) = 4.0 + 3 = 3, etc.

Para definir uma função, necessitamos de dois conjuntos (Domínio e Contradomínio ) e de uma fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um e somente um elemento do contradomínio.

Quando D(f) Ì R e CD(f) Ì R, sendo R o conjunto dos números reais, dizemos que a função f é uma função real de variável real. Na prática, costumamos considerar uma função real de variável real como sendo apenas a lei y = f(x) que a define, sendo o conjunto dos valores possíveis para x, chamado de domínio e o conjunto dos valores possíveis para y, chamado de conjunto imagem da função. Assim, por exemplo, para a função definida por y = 1/x, temos que o seu domínio é D(f) = R^*, ou seja o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se que não existe divisão por zero), e o seu conjunto imagem é também R^*, já que se y = 1/x, então x = 1/y e portanto y também não pode ser zero.

Dada uma função f : A ® B definida por y = f(x), podemos representar os pares ordenados (x, y) Î f onde x Î A e y Î B,num sistema de coordenadas cartesianas.
O gráfico obtido será o gráfico da função f.

Assim, por exemplo, sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f, podemos dizer que:
a ) a projeção da curva sobre o eixo dos x, nos dá o domínio da função.
b ) a projeção da curva sobre o eixo dos y, nos dá o conjunto imagem da função.
c ) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função, intercepta o gráfico da função em no máximo um ponto.
Veja a figura abaixo:

Tipos de funções

Função sobrejetora

É aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio.
Exemplo:

Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio, possuem imagens distintas,
isto é:
x₁ ¹ x₂ Þ f(x₁) ¹ f(x₂) ¹ x₂ Þ f(x₁) ¹ f(x₂) ¹ x₂ Þ f(x₁) ¹ f(x₂) ¹ x₂ Þ f(x₁) ¹ f(x₂) ¹ x₂ Þ f(x₁) ¹ f(x₂) ¹ x₂ Þ f(x₁) ¹ f(x₂) ¹ x₂ Þ f(x₁) ¹ f(x₂).

Uma função é dita bijetora, quando é ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora.

A função y = f(x) é par, quando " x Î D(f), f(- x ) = f(x), ou seja, para todo elemento do seu domínio,
f( x ) = f ( - x ). Portanto, numa função par, elementos simétricos possuem a mesma imagem. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesiano das funções pares, são curvas simétricas em relação ao eixo dos y ou eixo das ordenadas.
Exemplo:
y = x⁴ + 1 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo x. Por exemplo,
f(2) = 2⁴ + 1 = 17 e f(- 2) = (-2)⁴ + 1 = 17
O gráfico abaixo, é de uma função par.

A função y = f(x) é ímpar, quando " x Î D(f), f( - x ) = - f (x), ou seja, para todo elemento do seu domínio, f( - x) = - f( x ). Portanto, numa função ímpar, elementos simétricos possuem imagens simétricas. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesianos das funções ímpares, são curvas simétricas em relação ao ponto (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos.
Exemplo:
y = x³ é uma função ímpar pois para todo x, teremos f(- x) = - f(x).
Por exemplo, f( - 2) = (- 2)³ = - 8 e - f( x) = - ( 2³ ) = - 8.

O gráfico abaixo é de uma função ímpar:

Nota: se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, dizemos que ela não possui paridade.
Exemplo:
O gráfico abaixo, representa uma função que não possui paridade, pois a curva não é simétrica em relação ao eixo dos x e, não é simétrica em relação à origem.

Dada uma função f : A ® B, se f é bijetora, então define-se a função inversa f ^-1 como sendo a função de B em A, tal que f ^-1 (y) = x.
Veja a representação a seguir:

É óbvio então que:
a) para obter a função inversa, basta permutar as variáveis x e y.
b) o domínio de f ^-1 é igual ao conjunto imagem de f.
c) o conjunto imagem de f ^-1 é igual ao domínio de f.
d) os gráficos de f e de f ^-1 são curvas simétricas em relação à reta y = x ou seja, à bissetriz do primeiro quadrante.

Chama-se função composta ( ou função de função ) à função obtida substituindo-se a variável independente x, por uma função.

Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)).
Veja o esquema a seguir:

Obs : atente para o fato de que fog ¹ gof, ou seja, a operação " composição de funções " não é comutativa.
Exemplo:
Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar gof(x) e fog(x).
Teremos:
gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15
fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3
Observe que fog ¹ gof.

Tipos particulares de funções

Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k, onde k não depende de x.
Exemplos:
a) f(x) = 5
b) f(x) = -3

Obs : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x.
Veja o gráfico a seguir:

Uma função é dita do 1º grau, quando é do tipo y = ax + b, onde a ¹ 0.
Exemplos :
f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 )
f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).

Propriedades da função do 1º grau :

1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta

2) na função f(x) = ax + b, se b = 0, f é dita função linear e se b ¹ 0 f é dita função afim.
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abcissa x = - b/a.
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0, b), onde b é chamado coeficiente linear.
5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta.
6) se a > 0, então f é crescente.
7) se a < 0, então f é decrescente.
8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax, o gráfico é uma reta que sempre passa na origem.

FUNÇÃO DO 2º GRAU

Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax² + bx + c, com a ¹ 0.
Exemplos: f(x) = x² - 2x + 1 ( a = 1, b = -2, c = 1 ) ;
y = - x² ( a = -1, b = 0, c = 0 )

Gráfico da função do 2º grau y = ax² + bx + c :
é sempre uma parábola de eixo vertical.

1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo.
2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo
3) o vértice da parábola é o ponto V(x_v, y_v) onde:
x_{v =} - b/2a
y_v = - D /4a, onde D = b² - 4ac
4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'', que são as raízes da
equação ax² + bx + c = 0.
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0, c).
6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.
7) y_max = - D / 4a ( a < 0 )
8) y_min = - D /4a ( a > 0 )
9) Im(f) = { y Î R ; y ³ - D /4a } ( a > 0 )
10) Im(f) = { y Î R ; y £ - D /4a} ( a < 0)
11) Forma fatorada : sendo x₁ e x₂ as raízes da de f(x) = ax² + bx + c, então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir :
y = a(x - x₁).(x - x₂)